434. Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.

Обозначим точку пересечения диагоналей ромба ABCD через O. Диагональ BD делит угол B пополам, поэтому O лежит на биссектрисе угла ABC. Точка на биссектрисе угла равноудалена от его сторон, значит, расстояния от O до AB и BC равны.

Аналогично, диагональ AC делит угол A пополам, и O лежит на его биссектрисе. Поэтому расстояния от O до AB и AD равны. Следовательно, расстояния от O до AB, BC и AD одинаковы.

Противоположные стороны ромба параллельны, а O — центр симметрии ромба: поворот на 180° вокруг O переводит сторону AB в CD и сохраняет расстояния. Значит, расстояние от O до CD равно расстоянию до AB.

Таким образом, точка пересечения диагоналей равноудалена от всех сторон ромба.