435. Постройте график функции f(x) = { 3x + 6, при x < -1, x^2 - 2x, при -1 <= x < 2, 6 - 2x, при x >= 2. И определите, при каких значениях a прямая y = a имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение:

Для построения графика функции разобьём его на три части в соответствии с заданными условиями.

1. Функция \( f(x) = 3x + 6 \) при \( x < -1 \)

• Это линейная функция. Построим прямую, проходящую через точки \( x = -2 \) и \( x = -3 \).
• При \( x = -2 \): \( y = 3(-2) + 6 = 0 \). Точка (-2, 0).
• При \( x = -3 \): \( y = 3(-3) + 6 = -3 \). Точка (-3, -3).
• На интервале \( x < -1 \), эта функция будет лучом, начинающимся в точке \( (-1, 3(-1) + 6) = (-1, 3) \) (точка не включается) и идущим вниз влево.

2. Функция \( f(x) = x^2 - 2x \) при \( -1 \leq x < 2 \)

• Это квадратичная функция, парабола. Найдём вершину: \( x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1 \). \( y_v = 1^2 - 2(1) = -1 \). Вершина в точке (1, -1).
• Найдем значения на границах интервала:
• При \( x = -1 \): \( y = (-1)^2 - 2(-1) = 1 + 2 = 3 \). Точка (-1, 3) (включается).
• При \( x = 2 \): \( y = 2^2 - 2(2) = 4 - 4 = 0 \). Точка (2, 0) (точка не включается).
• График — часть параболы с вершиной в (1, -1), проходящей через точки (-1, 3) и (2, 0).

3. Функция \( f(x) = 6 - 2x \) при \( x \geq 2 \)

• Это линейная функция. Построим прямую.
• При \( x = 2 \): \( y = 6 - 2(2) = 2 \). Точка (2, 2) (включается).
• При \( x = 3 \): \( y = 6 - 2(3) = 0 \). Точка (3, 0).
• На интервале \( x \geq 2 \), это луч, начинающийся в точке (2, 2) и идущий вниз вправо.

Определение значений \( a \)

Чтобы прямая \( y = a \) имела с графиком ровно три общие точки, нужно проанализировать, какие горизонтальные прямые пересекают график в трёх точках.

• Значения \( y \) на первой части: от \( -∞ \) до 3 (не включая 3).
• Значения \( y \) на второй части (парабола): минимум \( y = -1 \) в вершине (1, -1), значения на концах интервала \( y=3 \) при \( x=-1 \) и \( y=0 \) при \( x=2 \). Диапазон значений от -1 до 3 (включая 3).
• Значения \( y \) на третьей части: от 2 до \( +∞ \).

Прямая \( y = a \) пересечет график в трёх точках, если она проходит через:

1. Вершину параболы, где \( y = -1 \). Эта прямая пересечет первую часть графика (где \( y \) доходит до 3), вторую часть в вершине и ещё в одной точке, и третью часть графика. Это даст 3 точки.
2. Значение, равное значению функции на границе интервалов, которое будет пересечено другими частями графика.

Проанализируем точки пересечения:

• Начальная точка первой части: \( (-1, 3) \).
• Конечная точка второй части (левая граница): \( (-1, 3) \).
• Конечная точка второй части (правая граница): \( (2, 0) \).
• Начальная точка третьей части: \( (2, 2) \).
• Вершина параболы: \( (1, -1) \).

Рассмотрим горизонтальные линии \( y = a \):

• Если \( a = -1 \) (вершина параболы), прямая \( y = -1 \) пересечет параболу в вершине (1 точка). Также она пересечет первую часть графика (где \( y \) уходит вниз от 3) и третью часть графика (где \( y \) начинается от 2 и идет вниз). Это даст 3 точки: одна на первой части, одна на второй (вершина), одна на третьей.
• Если \( a = 2 \) (начало третьей части), прямая \( y = 2 \) пересечет первую часть графика (где \( y < 3 \)), третью часть графика в начале (2, 2) (1 точка), и параболу в двух точках (так как \( 2 \) находится между \( -1 \) и \( 3 \)). Это даст 4 точки.
• Если \( a = 3 \) (конец первой части и начало второй), прямая \( y = 3 \) пересечет первую часть графика в точке \( (-1, 3) \) (1 точка, не включая), параболу в точке \( (-1, 3) \) (1 точка, включая), и третью часть графика. Так как \( 3 \) больше, чем \( 2 \) (начало третьей части), прямая \( y=3 \) пересечет третью часть графика. Это даст 3 точки.

Таким образом, прямая \( y = a \) имеет ровно три общие точки с графиком, когда \( a = -1 \) или \( a = 3 \).

Ответ: \( a = -1 \) или \( a = 3 \).