437. В треугольнике ABC, где AB < AC, отрезок AD — биссектриса, отрезок AH — высота. Докажите, что точка H лежит на луче DB.

Пусть биссектриса AD пересекает сторону BC в точке D. По теореме о биссектрисе:

\(\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}<1\), поскольку \(AB

Так как \(AH\perp BC\), треугольники ABH и ACH прямоугольные. По теореме Пифагора:

\(BH^2=AB^2-AH^2\), \(CH^2=AC^2-AH^2\).

Из \(AB

А из \(BD

Проверим сравнение координат вдоль BC: пусть \(a=BC\), \(c=AB\), \(b=AC\), и начало координат — B. Тогда \(D=\dfrac{ac}{b+c}\). Проекция точки A на BC имеет координату \(H=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2a}\). Условие \(c

\(H-D=\dfrac{(b-c)((b+c)^2-a^2)}{2a(b+c)}>0\), поскольку по неравенству треугольника \(a

Ответ: H лежит на луче DB.