438. Решите уравнения: а) \(\sqrt{2x}+3\sqrt{8x}=1-\sqrt{2x}\); б) \(\sqrt{\frac{x}{2}}+\sqrt{\frac{2x}{9}}+\sqrt{\frac{x}{8}}=\frac{1}{6}\); в) \(6\sqrt{3x}+5\sqrt{48x}-15=7\sqrt{27x}\); г) \(\sqrt{\frac{x}{3}}+\sqrt{\frac{3x}{16}}+3\sqrt{\frac{x}{27}}=\frac{11}{12}\).

Во всех уравнениях подкоренные выражения требуют, чтобы \(x\ge 0\).

а) Пусть \(t=\sqrt{2x}\). Тогда \(\sqrt{8x}=2\sqrt{2x}=2t\), поэтому

\(t+3\cdot2t=1-t\),
\(8t=1\),
\(t=\frac18\).

Следовательно, \(\sqrt{2x}=\frac18\), откуда \(2x=\frac1{64}\) и \(x=\frac1{128}\).

б) Преобразуем радикалы, выделяя \(\sqrt{x}\):

\(\sqrt{\frac{x}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{x}\), \(\sqrt{\frac{2x}{9}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{x}\), \(\sqrt{\frac{x}{8}}=\frac{\sqrt{2}}{4}\sqrt{x}\).

Тогда \(\left(\frac12+\frac13+\frac14\right)\sqrt{2}\sqrt{x}=\frac16\),
\(\frac{13\sqrt{2}}{12}\sqrt{x}=\frac16\),
\(\sqrt{x}=\frac{2}{13\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{13}\).

Значит, \(x=\frac{2}{169}\).

в) Пусть \(t=\sqrt{3x}\). Тогда \(\sqrt{48x}=4t\), \(\sqrt{27x}=3t\). Получаем

\(6t+5\cdot4t-15=7\cdot3t\),
\(26t-15=21t\),
\(5t=15\), поэтому \(t=3\).

Следовательно, \(3x=9\), откуда \(x=3\).

г) Выделим \(\sqrt{x}\):

\(\sqrt{\frac{x}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{x}\), \(\sqrt{\frac{3x}{16}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\sqrt{x}\), \(3\sqrt{\frac{x}{27}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{x}\).

Тогда \(\left(\frac13+\frac14+\frac13\right)\sqrt{3}\sqrt{x}=\frac{11}{12}\),
\(\frac{11\sqrt{3}}{12}\sqrt{x}=\frac{11}{12}\),
\(\sqrt{x}=\frac1{\sqrt{3}}\).

Значит, \(x=\frac13\).

Ответ: а) \(\frac1{128}\); б) \(\frac2{169}\); в) \(3\); г) \(\frac13\).