438. В трапеции ABCD с большим основанием AD диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD, ∠BAC = ∠CAD. Найдите AD, если периметр трапеции равен 20 см, а ∠D = 60°.

Так как AC ⟂ CD, треугольник ACD прямоугольный, причём ∠C = 90°. Поэтому ∠CAD = 180° − 90° − 60° = 30°.

По условию ∠BAC = ∠CAD = 30°, значит ∠BAD = 60°. Поскольку AD ∥ BC, соседние углы при боковой стороне AB supplementary: ∠ABC = 120°. В треугольнике ABC тогда ∠ACB = 30°.

Обозначим CD = x. По соотношениям в прямоугольном треугольнике ACD с углами 30°, 60° и 90°: AC = x√3, AD = 2x. В треугольнике ABC углы также равны 30°, 60° и 90°; сторона AC лежит напротив угла 120°? Здесь ∠ABC = 120° не может быть углом треугольника, поэтому используем параллельность оснований: ∠ACB и ∠CAD равны как накрест лежащие при AC и параллельных BC, AD. Следовательно, ∠ACB = 30°, а ∠BAC = 30°, и AB = BC.

Из прямоугольного треугольника ACD: AC = x√3. В треугольнике ABC углы при A и C равны 30°, значит AB = BC, а AC — основание равнобедренного треугольника. Кроме того, ∠ABC = 120°, что подтверждает ∠BAC = ∠ACB = 30°. По теореме синусов AB = BC = AC·sin 30°/sin 120° = x.

Периметр равен AD + AB + BC + CD = 2x + x + x + x = 5x. Тогда 5x = 20, откуда x = 4 см и AD = 2x = 8 см.

Ответ: 8 см.