438. В трапеции ABCD с большим основанием AD диагональ AC перпендикулярна к боковой стороне CD, ∠BAC = ∠CAD. Найдите AD, если периметр трапеции равен 20 см, а ∠D = 60°.

Так как AC ⟂ CD, треугольник ACD прямоугольный, причём ∠ACD = 90°. Тогда ∠CAD = 180° − 90° − 60° = 30°.

По условию ∠BAC = ∠CAD = 30°, поэтому ∠BAD = 60°.

Пусть CD = x. В прямоугольном треугольнике ACD с углом 60° при D:

AD = 2x, а AC = x√3.

Поскольку AD ∥ BC, углы между диагональю AC и основаниями равны: ∠ACB = ∠CAD = 30°. В треугольнике ABC углы при A и C равны 30°, значит AB = BC.

Кроме того, ∠ABC = 180° − ∠BAD = 120°. В треугольнике ABC стороны, лежащие напротив равных углов, равны, а AC — основание равнобедренного треугольника. По теореме синусов или из разбиения высотой получаем AB = BC = AC = x√3.

Периметр трапеции равен:

AD + CD + AB + BC = 2x + x + x√3 + x√3 = 20.

Отсюда x(3 + 2√3) = 20, поэтому AD = 2x = 40/(3 + 2√3) см.

Ответ: 40/(3 + 2√3) см.