Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 44. Докажите, что если A (−3; 4), B (7; 9), C (5; −2), D (−5; −7), то четырёхугольник ABCD является ромбом. Найдите его…Фото задания

Ответ:

Решение.

  1. Найдём квадраты длин сторон по формуле расстояния между точками:
    • AB² = (7 − (−3))² + (9 − 4)² = 10² + 5² = 125.
    • BC² = (5 − 7)² + (−2 − 9)² = (−2)² + (−11)² = 125.
    • CD² = (−5 − 5)² + (−7 − (−2))² = (−10)² + (−5)² = 125.
    • DA² = (−3 − (−5))² + (4 − (−7))² = 2² + 11² = 125.
  2. Все четыре стороны равны: AB = BC = CD = DA = √125 = 5√5. Следовательно, ABCD — ромб.
  3. Проверим диагонали: AC² = (5 − (−3))² + (−2 − 4)² = 8² + (−6)² = 100, поэтому AC = 10. BD² = (−5 − 7)² + (−7 − 9)² = (−12)² + (−16)² = 400, поэтому BD = 20.
  4. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей: S = ½ · AC · BD = ½ · 10 · 20 = 100.

Ответ: ABCD — ромб; его площадь равна 100 квадратным единицам.