44. Қосындыны анықтаңдар: 1) $C_n^0+2C_n^1+2^2C_n^2+\cdots+2^nC_n^n$; 2) $C_n^0+C_n^2+C_n^4+\cdots$; 3) $C_n^0+C_n^2+C_n^5+\cdots$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 44. Қосындыны анықтаңдар: 1) $C_n^0+2C_n^1+2^2C_n^2+\cdots+2^nC_n^n$; 2) $C_n^0+C_n^2+C_n^4+\cdots$; 3)…$ Фото задания

44. Қосындыны анықтаңдар: 1) $C_n^0+2C_n^1+2^2C_n^2+\cdots+2^nC_n^n$; 2) $C_n^0+C_n^2+C_n^4+\cdots$; 3) $C_n^0+C_n^2+C_n^5+\cdots$.

Accepted Answer

1) Биномдық формула бойынша

\[\sum_{k=0}^{n}2^kC_n^k=(1+2)^n=3^n.\]

2) $(1+1)^n$ және $(1-1)^n$ өрнектерін қосамыз:

\[2\sum_{\substack{0\le k\le n\\ k\text{ жұп}}}C_n^k=2^n+0^n.\]

Сондықтан $n\ge1$ үшін жұп индексті биномиалдық коэффициенттердің қосындысы $2^{n-1}$. (Егер $n=0$ болса, қосынды $1$.)

3) Көрінген индекстер $0,2,5$ әрі қарайғы заңдылықты бірмәнді анықтамайды. Сондықтан қосындыны табу үшін қалған индекстер немесе олардың жалпы заңдылығы қажет.

44. Қосындыны анықтаңдар: 1) \(C_n^0+2C_n^1+2^2C_n^2+\cdots+2^nC_n^n\); 2) \(C_n^0+C_n^2+C_n^4+\cdots\); 3) \(C_n^0+C_n^2+C_n^5+\cdots\).

Ответ: