442. Докажите тождество: а) \(\left(\sqrt a-\frac1{\sqrt a}\right)\left(\frac{\sqrt a+1}{\sqrt a-1}-\frac{\sqrt a}{\sqrt a+1}+4\sqrt a\right)=4a\); б) \(\sqrt x+\frac{2\sqrt{xy}+y\sqrt x-x\sqrt y}{\sqrt{xy}}=\sqrt y+2\); в) \(\left(\frac{a\sqrt a+b\sqrt b}{\sqrt a+\sqrt b}-\sqrt{ab}\right):\left(\frac{3a-3b}{\sqrt a+\sqrt b}\right)^2=\frac19\); г) \(\left(\frac{a\sqrt a-b\sqrt b}{\sqrt a-\sqrt b}+\sqrt{ab}\right)\cdot\frac{\sqrt a-\sqrt b}{(6b-6a)^2}=\frac1{36\sqrt a-36\sqrt b}\).

а) Область допустимых значений: \(a>0\), \(a\ne1\). Положим \(t=\sqrt a\). Тогда

\(\left(t-\frac1t\right)\left(\frac{t+1}{t-1}-\frac{t}{t+1}+4t\right)=\frac{(t-1)(t+1)}t\left(\frac{(t+1)^2-t(t-1)+4t(t^2-1)}{t^2-1}\right)\).

В числителе второй дроби: \((t+1)^2-t(t-1)+4t(t^2-1)=4t^3+2t+1\). При этом выражение не тождественно равно \(4a\) (например, при \(a=4\), левая часть равна \(\frac{61}{4}\), а правая — \(16\)). Вероятно, в условии или распознанной записи есть ошибка.

б) При \(x>0, y>0\):

\(\sqrt x+\frac{2\sqrt{xy}+y\sqrt x-x\sqrt y}{\sqrt{xy}}=\sqrt x+2+\sqrt y-\sqrt x=\sqrt y+2\).

в) При положительных \(a,b\) и \(a\ne b\):

\(\frac{a\sqrt a+b\sqrt b}{\sqrt a+\sqrt b}=a-\sqrt{ab}+b\), поскольку \((\sqrt a+\sqrt b)(a-\sqrt{ab}+b)=a\sqrt a+b\sqrt b\). Значит, числитель перед делением равен \((\sqrt a-\sqrt b)^2\).

Кроме того, \(\left(\frac{3a-3b}{\sqrt a+\sqrt b}\right)^2=9(\sqrt a-\sqrt b)^2\). Поэтому частное равно \(\frac19\).

г) При положительных \(a,b\), \(a\ne b\):

\(\frac{a\sqrt a-b\sqrt b}{\sqrt a-\sqrt b}=a+\sqrt{ab}+b\). После прибавления \(\sqrt{ab}\) получаем \((\sqrt a+\sqrt b)^2\).

Так как \((6b-6a)^2=36(\sqrt a-\sqrt b)^2(\sqrt a+\sqrt b)^2\), левая часть равна \(\frac{1}{36(\sqrt a-\sqrt b)}=\frac1{36\sqrt a-36\sqrt b}\).

Примечание: пункт а) в прочитанном виде не является тождеством; проверьте, пожалуйста, его запись на фотографии или пришлите более чёткий фрагмент.