443. Упростите выражение: а) \(\frac{a}{a+\sqrt{a^2-b^2}}+\frac{a}{a-\sqrt{a^2-b^2}}:\frac{2a}{b}\); б) \(\frac{\sqrt x+\sqrt{x+4}}{\sqrt x-\sqrt{x+4}}+\frac{\sqrt x-\sqrt{x+4}}{\sqrt x+\sqrt{x+4}}\cdot\sqrt{\frac{x}{x+4}}\); в) \(\left(\frac{x+\sqrt{x^2-2x}}{x-\sqrt{x^2-2x}}-\frac{x-\sqrt{x^2-2x}}{x+\sqrt{x^2-2x}}\right)\cdot\sqrt{\frac{x}{x^2-4}}\); г) \(\left(\frac{\sqrt x}{y-\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt x}{\sqrt{xy}}\right):\frac{2\sqrt{xy}}{x^2-2xy+y^2}-\sqrt y\).

а) Здесь двоеточие означает деление второго слагаемого на \(\frac{2a}{b}\). Обозначим \(s=\sqrt{a^2-b^2}\). Тогда

\(\frac{a}{a+s}+\frac{a}{a-s}:\frac{2a}{b}=\frac{a}{a+s}+\frac{b}{2(a-s)}\).

В таком прочтении выражение не сводится к обычному симметричному сокращению; если же двоеточие относится ко всей сумме дробей, результат иной. На фото расположение знаков неоднозначно, поэтому для пункта а) нужно уточнить, где именно заканчивается деление.

б) Пусть \(A=\sqrt x\), \(B=\sqrt{x+4}\). Тогда сумма дробей равна \(\frac{(A+B)^2+(A-B)^2}{A^2-B^2}=-\frac{x+2}{2}\). Умножая на \(\sqrt{\frac{x}{x+4}}\), получаем \(-\frac{x+2}{2}\sqrt{\frac{x}{x+4}}\). Условие выражения: \(x>0\).

в) Пусть \(s=\sqrt{x^2-2x}\). Разность дробей равна \(\frac{(x+s)^2-(x-s)^2}{x^2-s^2}=\frac{4xs}{2x}=2s\). Поэтому

\(2\sqrt{x^2-2x}\sqrt{\frac{x}{x^2-4}}=2x\sqrt{\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}}=\frac{2x}{\sqrt{x+2}}\), при допустимых значениях \(x\).

г) При чтении знака между скобками и дробью как деления, а последнего радикала как \(\sqrt y\), преобразуем скобки:

\(\frac{\sqrt x}{y-\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt x}{\sqrt{xy}}=\frac1{\sqrt y-\sqrt x}+\frac1{\sqrt y}=\frac{\sqrt y+\sqrt y-\sqrt x}{\sqrt y(\sqrt y-\sqrt x)}\).

Знаменатель \(x^2-2xy+y^2=(x-y)^2\). Однако исходная расстановка знаков в пункте г) на фотографии читается недостаточно уверенно, чтобы однозначно установить, делится ли на эту дробь вся сумма в скобках или только её часть. Для однозначного упрощения нужен более чёткий фрагмент.