447. Дан вектор $\vec a\{3; -5; 0\}$. Докажите, что: а) угол между $\vec a$ и $\vec i$ меньше $90^\circ$; б) угол между $\vec a$ и $\vec j$ больше $90^\circ$; в) угол между $\vec a$ и $\vec k$ равен $90^\circ$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 447. Дан вектор $\vec a\{3; -5; 0\}$. Докажите, что: а) угол между $\vec a$ и $\vec i$ меньше $90^\circ$; б) угол…$ Фото задания

447. Дан вектор $\vec a\{3; -5; 0\}$. Докажите, что: а) угол между $\vec a$ и $\vec i$ меньше $90^\circ$; б) угол между $\vec a$ и $\vec j$ больше $90^\circ$; в) угол между $\vec a$ и $\vec k$ равен $90^\circ$.

Accepted Answer

Используем свойство скалярного произведения: если оно положительно, угол между ненулевыми векторами острый; если отрицательно — тупой; если равно нулю — прямой.

Единичные координатные векторы: $\vec i=(1;0;0)$, $\vec j=(0;1;0)$, $\vec k=(0;0;1)$. Дано: $\vec a=(3;-5;0)$.

$\vec a\cdot\vec i=3\cdot1+(-5)\cdot0+0\cdot0=3>0$. Значит, угол между $\vec a$ и $\vec i$ меньше $90^\circ$.
$\vec a\cdot\vec j=3\cdot0+(-5)\cdot1+0\cdot0=-5<0$. Значит, угол между $\vec a$ и $\vec j$ больше $90^\circ$.
$\vec a\cdot\vec k=3\cdot0+(-5)\cdot0+0\cdot1=0$. Значит, угол между $\vec a$ и $\vec k$ равен $90^\circ$.

Ответ: а) угол острый; б) угол тупой; в) угол прямой.