448. На стороне AD прямоугольника ABCD построен треугольник ADE так, что его стороны AE и DE пересекают отрезок BC в точках M и N, причём точка M — середина отрезка AE. Докажите, что S_{ABCD}=S_{ADE}.

Доказательство. Пусть ширина прямоугольника равна AB = w, а высота AD = h. Обозначим через x расстояние от точки E до прямой AD.

1. Так как M лежит на BC, его расстояние до прямой AD равно ширине прямоугольника: w.
2. Точка M — середина AE, а A лежит на AD. Поэтому расстояние от M до AD составляет половину расстояния от E до AD: w = x/2. Значит, x = 2w.
3. Площадь треугольника ADE равна половине произведения основания AD на высоту, опущенную к нему: S_ADE = h · 2w / 2 = hw.
4. Площадь прямоугольника ABCD равна AD · AB = hw.

Следовательно, площади равны.

Ответ: S_ABCD = S_ADE.