448. Решите неравенство 25^x + 3 \(\cdot\) 10^x - 4 \(\cdot\) 4^x > 0.

Решение:

Разделим обе части неравенства на \( 4^x \) (так как \( 4^x > 0 \) для всех \( x \)):

\( \frac{25^x}{4^x} + 3 \frac{10^x}{4^x} - 4 > 0 \)

Перепишем в виде:

\( \left(\frac{5}{2}\right)^{2x} + 3 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^x - 4 > 0 \)

Пусть \( y = \left(\frac{5}{2}\right)^x \). Тогда неравенство примет вид:

\( y^2 + 3y - 4 > 0 \)

Найдем корни квадратного уравнения \( y^2 + 3y - 4 = 0 \):

\( y = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2} \)

Корни: \( y_1 = \frac{-3 + 5}{2} = 1 \) и \( y_2 = \frac{-3 - 5}{2} = -4 \).

Так как парабола \( y^2 + 3y - 4 \) имеет ветви вверх, неравенство \( y^2 + 3y - 4 > 0 \) выполняется при \( y < -4 \) или \( y > 1 \).

Подставим обратно \( y = \left(\frac{5}{2}\right)^x \):

\( \left(\frac{5}{2}\right)^x < -4 \quad \text{или} \quad \left(\frac{5}{2}\right)^x > 1 \)

Так как \( \left(\frac{5}{2}\right)^x \) всегда больше 0, первое неравенство \( \left(\frac{5}{2}\right)^x < -4 \) не имеет решений.

Рассмотрим второе неравенство:

\( \left(\frac{5}{2}\right)^x > 1 \)

Так как \( 1 = \left(\frac{5}{2}\right)^0 \), имеем:

\( \left(\frac{5}{2}\right)^x > \left(\frac{5}{2}\right)^0 \)

Поскольку основание \( \frac{5}{2} > 1 \), показатель степени \( x \) должен быть больше:

\( x > 0 \)

Таким образом, решением неравенства является \( x > 0 \).

Ответ: \( x > 0 \).