45. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ медианы BM и B₁M₁ равны, AB = A₁B₁, AC = A₁C₁. Докажите, что △ABC = △A₁B₁C₁.

1. По формуле медианы, проведённой к стороне AC: 4BM² = 2AB² + 2BC² − AC².
2. Отсюда BC² = (4BM² − 2AB² + AC²)/2. Аналогично, B₁C₁² = (4B₁M₁² − 2A₁B₁² + A₁C₁²)/2.
3. По условию BM = B₁M₁, AB = A₁B₁ и AC = A₁C₁, поэтому BC² = B₁C₁², а значит, BC = B₁C₁.
4. Все три соответствующие стороны треугольников равны. Следовательно, треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников.

Ответ: △ABC = △A₁B₁C₁.