45. В треугольнике ABC ∠A = 45°, высота BD делит сторону AC на отрезки AD = 12 и CD = 16. Найдите длину медианы AE. Решите задачу методом координат.

Введём систему координат так, как указано в образце: D — начало координат, прямая AC — ось абсцисс, BD — ось ординат. Тогда \(D(0;0)\), \(A(-12;0)\), \(C(16;0)\). Поскольку BD — высота, точка B имеет координаты \(B(0;b)\).

Из условия \(\angle A=45^\circ\). В прямоугольном треугольнике ADB катеты равны, поскольку один острый угол равен 45°. Поэтому \(BD=AD=12\), и \(B(0;12)\).

Медиана AE оканчивается в середине BC. Координаты середины отрезка BC:

\(E\left(\frac{0+16}{2};\frac{12+0}{2}\right)=(8;6)\).

Найдём длину AE по формуле расстояния между точками:

\(AE=\sqrt{(8-(-12))^2+(6-0)^2}=\sqrt{20^2+6^2}=\sqrt{436}=2\sqrt{109}\).

Ответ: \(2\sqrt{109}\).