45. Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 2 и 8. Найдите меньшее основание трапеции.

Дано:

• Трапеция равнобедренная.
• Высота, проведённая из вершины меньшего основания, делит большее основание на отрезки 2 и 8.

Найти: Меньшее основание трапеции.

Решение:

1. Пусть данная трапеция — ABCD, где BC — меньшее основание, а AD — большее. Проведём высоту BH из вершины B на основание AD.
2. В равнобедренной трапеции высота, опущенная из конца меньшего основания, делит большее основание на два отрезка. Один отрезок равен полуразности оснований, а другой — полусумме оснований.
3. По условию, большее основание делится на отрезки 2 и 8.
4. Рассмотрим два случая:
• Случай 1: Отрезок, прилежащий к боковой стороне, равен 2. Тогда отрезок, прилежащий к диагонали, равен 8. В этом случае полуразность оснований равна 2.
• Случай 2: Отрезок, прилежащий к боковой стороне, равен 8. Тогда отрезок, прилежащий к диагонали, равен 2. Это невозможно, так как отрезок, прилежащий к боковой стороне, должен быть меньше.
5. Таким образом, отрезок, прилежащий к боковой стороне (AH), равен 2.
6. Тогда отрезок HD равен 8.
7. Средняя часть большего основания (равная меньшему основанию) равна отрезку AD - AH - HD. Однако, согласно свойствам равнобедренной трапеции, отрезок, отсекаемый высотой от большего основания, состоит из отрезка, равного полуразности оснований, и отрезка, равного меньшему основанию.
8. Пусть меньшее основание равно b, а большее основание равно a.
9. Тогда отрезки, на которые высота делит большее основание, равны rac{a-b}{2} и b + rac{a-b}{2} = rac{a+b}{2}.
10. По условию, эти отрезки равны 2 и 8.
11. Значит, rac{a-b}{2} = 2 и rac{a+b}{2} = 8.
12. Из первого уравнения: a - b = 4.
13. Из второго уравнения: a + b = 16.
14. Теперь у нас есть система уравнений:
• \[ \begin{cases} a - b = 4 \\ a + b = 16 \end{cases} \]
15. Сложим оба уравнения:
• (a - b) + (a + b) = 4 + 16
• 2a = 20
• a = 10
16. Подставим значение a в первое уравнение:
• 10 - b = 4
• b = 10 - 4
• b = 6
17. Таким образом, меньшее основание трапеции равно 6.
18. Проверка: если меньшее основание равно 6, а большее — 10, то отрезки, на которые высота делит большее основание, будут:
• rac{10-6}{2} = rac{4}{2} = 2
• rac{10+6}{2} = rac{16}{2} = 8
19. Это соответствует условию задачи.

Ответ: 6