451. Найдите объём прямой призмы ABCA₁B₁C₁, если ∠BAC = 60°, BC = 37 см, AB = 35 см, AA₁ = 11,1 дм.

Основание призмы — треугольник ABC. Сначала найдём его сторону AC по теореме косинусов:

\(BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos\angle BAC\).

Обозначим \(AC=x\). Тогда \(37^2=35^2+x^2-35x\), откуда \(x^2-35x-144=0\). Положительный корень: \(x=\frac{35+\sqrt{1801}}{2}\approx38.72\) см.

Площадь основания: \(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin60^\circ=\frac{35(35+\sqrt{1801})\sqrt3}{8}\approx587.0\) см².

Переведём высоту призмы в сантиметры: \(11.1\) дм = \(111\) см. Объём прямой призмы равен площади основания, умноженной на высоту:

\(V=S_{ABC}\cdot AA_1\approx587.0\cdot111\approx65155\) см³.

Ответ: примерно 65 155 см³.