451. Вычислите угол между векторами: а) \(\vec a\{2;\,-2;\,0\}\) и \(\vec b\{3;\,0;\,-3\}\); б) \(\vec a\{\sqrt2;\,\sqrt2;\,2\}\) и \(\vec b\{-3;\,-3;\,0\}\); в) \(\vec a\{0;\,5;\,0\}\) и \(\vec b\{0;\,-\sqrt3;\,1\}\); г) \(\vec a\{-2,5;\,2,5;\,0\}\) и \(\vec b\{-5;\,5;\,5\sqrt2\}\); д) \(\vec a\{-\sqrt2;\,-\sqrt2;\,-2\}\) и \(\vec b\{\frac{\sqrt2}{2};\,\frac{\sqrt2}{2};\,-1\}\).

Используем формулу: \(\cos\alpha=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\,|\vec b|}\).

а) \(\vec a\cdot\vec b=2\cdot3+(-2)\cdot0+0\cdot(-3)=6\).

\(|\vec a|=\sqrt{2^2+(-2)^2}=2\sqrt2\), \(|\vec b|=\sqrt{3^2+(-3)^2}=3\sqrt2\).

\(\cos\alpha=\frac{6}{2\sqrt2\cdot3\sqrt2}=\frac12\), поэтому \(\alpha=60^\circ\).

б) \(\vec a\cdot\vec b=\sqrt2(-3)+\sqrt2(-3)+2\cdot0=-6\sqrt2\).

\(|\vec a|=\sqrt{2+2+4}=2\sqrt2\), \(|\vec b|=\sqrt{9+9}=3\sqrt2\).

\(\cos\alpha=\frac{-6\sqrt2}{2\sqrt2\cdot3\sqrt2}=-\frac{\sqrt2}{2}\), поэтому \(\alpha=135^\circ\).

в) \(\vec a\cdot\vec b=0\cdot0+5(-\sqrt3)+0\cdot1=-5\sqrt3\).

\(|\vec a|=5\), \(|\vec b|=\sqrt{3+1}=2\).

\(\cos\alpha=\frac{-5\sqrt3}{5\cdot2}=-\frac{\sqrt3}{2}\), поэтому \(\alpha=150^\circ\).

г) \(\vec a\cdot\vec b=(-2,5)(-5)+2,5\cdot5+0\cdot5\sqrt2=25\).

\(|\vec a|=\sqrt{(-2,5)^2+2,5^2}=\frac{5\sqrt2}{2}\), \(|\vec b|=\sqrt{25+25+50}=10\).

\(\cos\alpha=\frac{25}{\frac{5\sqrt2}{2}\cdot10}=\frac{\sqrt2}{2}\), поэтому \(\alpha=45^\circ\).

д) \(\vec a\cdot\vec b=(-\sqrt2)\frac{\sqrt2}{2}+(-\sqrt2)\frac{\sqrt2}{2}+(-2)(-1)=-1-1+2=0\).

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны.

Ответ: а) \(60^\circ\); б) \(135^\circ\); в) \(150^\circ\); г) \(45^\circ\); д) \(90^\circ\).