452. Найдите значение выражения:

Решение:

Для решения воспользуемся свойствами степеней. При умножении степеней с одинаковым показателем, основания перемножаются, а показатель остается прежним: \( a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \).

а) \( 2^4 \cdot 5^4 \)

1. Применяем свойство степеней: \( 2^4 \cdot 5^4 = (2 \cdot 5)^4 \)
2. Вычисляем: \( (2 \cdot 5)^4 = 10^4 = 10000 \)

б) \( 4^3 \cdot 25^3 \)

1. Применяем свойство степеней: \( 4^3 \cdot 25^3 = (4 \cdot 25)^3 \)
2. Вычисляем: \( (4 \cdot 25)^3 = 100^3 = 1000000 \)

в) \( 0,25^{15} \cdot 4^{15} \)

1. Переведем десятичную дробь в обыкновенную: \( 0,25 = \frac{1}{4} \)
2. Применяем свойство степеней: \( \left(\frac{1}{4}\right)^{15} \cdot 4^{15} = \left(\frac{1}{4} \cdot 4\right)^{15} \)
3. Вычисляем: \( \left(\frac{1}{4} \cdot 4\right)^{15} = 1^{15} = 1 \)

г) \( \left(\frac{2}{3}\right)^7 \cdot 1,5^7 \)

1. Переведем десятичную дробь в обыкновенную: \( 1,5 = \frac{3}{2} \)
2. Применяем свойство степеней: \( \left(\frac{2}{3}\right)^7 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^7 = \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}\right)^7 \)
3. Вычисляем: \( \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}\right)^7 = 1^7 = 1 \)

д) \( \left(\frac{5}{7}\right)^{10} \cdot 1,4^9 \)

1. Это выражение не поддается простому упрощению с использованием того же свойства степеней, что и в предыдущих пунктах, так как показатели степеней разные (10 и 9).
2. Переведем 1,4 в дробь: \( 1,4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5} \).
3. Выражение приобретает вид: \( \left(\frac{5}{7}\right)^{10} \cdot \left(\frac{7}{5}\right)^9 \).
4. Можно записать как: \( \left(\frac{5}{7}\right)^{10} \cdot \left(\frac{5}{7}\right)^{-9} \)
5. Складываем показатели: \( \left(\frac{5}{7}\right)^{10-9} = \left(\frac{5}{7}\right)^1 = \frac{5}{7} \).

е) \( 0,2^6 \cdot 50^7 \)

1. Переведем десятичную дробь в обыкновенную: \( 0,2 = \frac{1}{5} \).
2. Выражение приобретает вид: \( \left(\frac{1}{5}\right)^6 \cdot 50^7 \).
3. Разложим \( 50^7 \) как \( 50^6 \cdot 50^1 \).
4. \( \left(\frac{1}{5}\right)^6 \cdot 50^6 \cdot 50 = \left(\frac{1}{5} \cdot 50\right)^6 \cdot 50 \)
5. \( \left(\frac{50}{5}\right)^6 \cdot 50 = 10^6 \cdot 50 = 1000000 \cdot 50 = 5000000 \).

Ответ: а) 10000; б) 1000000; в) 1; г) 1; д) 5/7; е) 5000000.