458. а) Решите уравнение √6 + √8 cosx = 2cos(2x+3π) - √12 cosx-2. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π/2; 4π].

Решение:

а) Решение уравнения:

• Перепишем уравнение: \[ \sqrt{6} + \sqrt{8} \cos x = 2\cos(2x+3\pi) - \sqrt{12} \cos x - 2 \]
• Используем свойства косинуса: \(\cos(2x+3\pi) = \cos(2x+2\pi+\pi) = \cos(2x+\pi) = -\cos(2x)\)
• Подставим: \[ \sqrt{6} + 2\sqrt{2} \cos x = -2\cos(2x) - 2\sqrt{3} \cos x - 2 \]
• Перенесем все в одну сторону: \[ 2\cos(2x) + (2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}) \cos x + \sqrt{6} + 2 = 0 \]
• Используем формулу двойного угла: \(\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1\)
• Подставим: \[ 2(2\cos^2 x - 1) + (2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}) \cos x + \sqrt{6} + 2 = 0 \]
• Упростим: \[ 4\cos^2 x - 2 + (2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}) \cos x + \sqrt{6} + 2 = 0 \]
• \[ 4\cos^2 x + (2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}) \cos x + \sqrt{6} = 0 \]
• Пусть \(t = \cos x\). Тогда: \[ 4t^2 + (2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}) t + \sqrt{6} = 0 \]
• Найдем дискриминант: \(D = (2\sqrt{2} + 2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 4 \cdot \sqrt{6} = (4 \cdot 2 + 8\sqrt{6} + 4 \cdot 3) - 16\sqrt{6} = 8 + 8\sqrt{6} + 12 - 16\sqrt{6} = 20 - 8\sqrt{6}\)
• \[ \sqrt{D} = \sqrt{20 - 8\sqrt{6}} = \sqrt{20 - 2\sqrt{16 \cdot 6}} = \sqrt{20 - 2\sqrt{96}} \]
• Ищем числа a, b такие, что \(a+b=20\) и \(ab=96\). Это 12 и 8.
• \[ \sqrt{D} = \sqrt{12} - \sqrt{8} = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} \]
• Найдем корни t:
• \[ t_1 = \frac{-(2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}) + (2\sqrt{3} - 2\sqrt{2})}{2 \cdot 4} = \frac{-4\sqrt{2}}{8} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]
• \[ t_2 = \frac{-(2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}) - (2\sqrt{3} - 2\sqrt{2})}{2 \cdot 4} = \frac{-4\sqrt{3}}{8} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]
• Итак, \(\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) или \(\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)
• Решения для \(\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\): \(x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\)
• Решения для \(\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\): \(x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\)

б) Корни, принадлежащие отрезку [5π/2; 4π]:

• Рассмотрим \(x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n\):
• При \(n=1\), \(x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4}\). \(\frac{5\pi}{2} = \frac{10\pi}{4}\). \(\frac{11\pi}{4} \in [\frac{10\pi}{4}; \frac{16\pi}{4}]\)
• При \(n=2\), \(x = \frac{3\pi}{4} + 4\pi = \frac{19\pi}{4}\) (больше \(4\pi\))
• Рассмотрим \(x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n\):
• При \(n=2\), \(x = -\frac{3\pi}{4} + 4\pi = \frac{13\pi}{4}\). \(\frac{13\pi}{4} \in [\frac{10\pi}{4}; \frac{16\pi}{4}]\)
• При \(n=3\), \(x = -\frac{3\pi}{4} + 6\pi = \frac{21\pi}{4}\) (больше \(4\pi\))
• Рассмотрим \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\):
• При \(k=1\), \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6}\). \(\frac{5\pi}{2} = \frac{15\pi}{6}\), \(4\pi = \frac{24\pi}{6}\). \(\frac{17\pi}{6} \in [\frac{15\pi}{6}; \frac{24\pi}{6}]\)
• При \(k=2\), \(x = \frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{29\pi}{6}\) (больше \(4\pi\))
• Рассмотрим \(x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k\):
• При \(k=2\), \(x = -\frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{19\pi}{6}\). \(\frac{19\pi}{6} \in [\frac{15\pi}{6}; \frac{24\pi}{6}]\)
• При \(k=3\), \(x = -\frac{5\pi}{6} + 6\pi = \frac{31\pi}{6}\) (больше \(4\pi\))

Финальный ответ:

а) \(x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}\)

б) \(\frac{11\pi}{4}, \frac{13\pi}{4}, \frac{17\pi}{6}, \frac{19\pi}{6}\)