46. Точки A, B, C, D не лежат на одной прямой. Известно, что прямая AB пересекает отрезок CD, а прямая CD пересекает отрезок AB. Докажите, что отрезки AB и CD пересекаются.

Пусть прямая AB пересекает отрезок CD в точке X. Тогда X принадлежит отрезку CD и прямой AB.

Так как прямая CD пересекает отрезок AB, обозначим точку пересечения через Y. Тогда Y принадлежит отрезку AB и прямой CD.

Предположим, что отрезки AB и CD не пересекаются. Поскольку X лежит на прямой AB, но не принадлежит отрезку AB, точка X находится вне отрезка AB. Аналогично, Y находится вне отрезка CD.

Точки A и B лежат по разные стороны от прямой CD: иначе прямая CD не пересекала бы отрезок AB. Поэтому отрезок AB пересекает прямую CD в точке Y, расположенной между A и B. Точки C и D лежат по разные стороны от прямой AB, поскольку она пересекает отрезок CD в X.

Для наглядного доказательства расположим пересекающиеся прямые как координатные оси. Пусть X — начало координат, а C и D находятся на вертикальной оси по разные стороны от X. Так как прямая CD пересекает отрезок AB, точки A и B находятся по разные стороны от вертикальной оси; а так как X не лежит на AB, они находятся в одной и той же полуплоскости относительно горизонтальной оси либо обе — в другой. Тогда отрезок AB не может пересечь вертикальную ось ниже C или выше D, не пересекая при этом горизонтальную ось внутри CD. Это противоречит тому, что пересечение прямой CD с AB находится вне CD.

Следовательно, предположение неверно: отрезки AB и CD имеют общую точку.

Ответ: отрезки AB и CD пересекаются.