464. Вычислите угол между прямыми AB и CD, если: а) A (3; −2; 4), B (4; −1; 2), C (6; −3; 2), D (7; −3; 1); б) A (5; −8; −1), B (6; −8; −2), C (7; −5; −11), D (7; −7; −9); в) A (1; 0; 2), B (2; 1; 0), C (0; −2; −4), D (−2; −4; 0); г) A (−6; −15; 7), B (−7; −15; 8), C (14; −10; 9), D (14; −10; 7).

Используем формулу угла между прямыми: \(\cos\varphi=\dfrac{|\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{AB}|\,|\overrightarrow{CD}|}\). Модуль скалярного произведения даёт острый угол между прямыми.

1. а) \(\overrightarrow{AB}=(1;1;-2)\), \(\overrightarrow{CD}=(1;0;-1)\). Тогда \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=3\), а длины векторов равны \(\sqrt6\) и \(\sqrt2\). Поэтому \(\cos\varphi=\dfrac{3}{\sqrt{12}}=\dfrac{\sqrt3}{2}\), откуда \(\varphi=30^\circ\).
2. б) \(\overrightarrow{AB}=(1;0;-1)\), \(\overrightarrow{CD}=(0;-2;2)\). Скалярное произведение равно \(-2\), длины — \(\sqrt2\) и \(2\sqrt2\). Значит, \(\cos\varphi=\dfrac{2}{4}=\dfrac12\), откуда \(\varphi=60^\circ\).
3. в) \(\overrightarrow{AB}=(1;1;-2)\), \(\overrightarrow{CD}=(-2;-2;4)=-2\overrightarrow{AB}\). Направляющие векторы коллинеарны, значит, прямые параллельны и угол между ними равен \(0^\circ\).
4. г) \(\overrightarrow{AB}=(-1;0;1)\), \(\overrightarrow{CD}=(0;0;-2)\). Скалярное произведение равно \(-2\), длины — \(\sqrt2\) и \(2\). Поэтому \(\cos\varphi=\dfrac{2}{2\sqrt2}=\dfrac{1}{\sqrt2}\), откуда \(\varphi=45^\circ\).

Ответ: а) 30°; б) 60°; в) 0°; г) 45°.