465. Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, в которой AA₁ = √2 AB (рис. 132, а). Найдите угол между прямыми AC₁ и A₁B.

Question

Вопрос:

465. Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, в которой AA₁ = √2 AB (рис. 132, а). Найдите угол между прямыми AC₁ и A₁B.

Accepted Answer

Пусть сторона основания \(AB=a\), тогда высота призмы \(AA_1=\sqrt2a\). Введём координаты: \(A(0;0;0)\), \(B(a;0;0)\), \(C\left(\frac a2;\frac{\sqrt3a}{2};0\right)\), \(A_1(0;0;\sqrt2a)\), \(C_1\left(\frac a2;\frac{\sqrt3a}{2};\sqrt2a\right)\).

Направляющие векторы прямых:

\(\vec{AC_1}=\left(\frac a2;\frac{\sqrt3a}{2};\sqrt2a\right)\), \(\vec{A_1B}=(a;0;-\sqrt2a)\).

Их скалярное произведение равно \(\frac{a^2}{2}-2a^2=-\frac{3a^2}{2}\). Длина каждого вектора равна \(\sqrt{3}a\). Следовательно, косинус угла между прямыми равен \(\frac{| -\frac{3a^2}{2}|}{(\sqrt3a)(\sqrt3a)}=\frac12\).

Ответ: 60°.