465. Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, в которой AA₁ = √2 AB (рис. 139, а). Найдите угол между прямыми AC₁ и A₁B.

Пусть сторона равностороннего основания равна \(a\). В правильной призме боковое ребро перпендикулярно основанию. Введём координаты: \(A(0;0;0)\), \(B(a;0;0)\), \(C\left(\dfrac a2;\dfrac{\sqrt3a}{2};0\right)\). Так как \(AA_1=\sqrt2a\), получаем \(A_1(0;0;\sqrt2a)\) и \(C_1\left(\dfrac a2;\dfrac{\sqrt3a}{2};\sqrt2a\right)\).

Направляющие векторы прямых: \(\overrightarrow{AC_1}=\left(\dfrac a2;\dfrac{\sqrt3a}{2};\sqrt2a\right)\), \(\overrightarrow{A_1B}=(a;0;-\sqrt2a)\).

Их скалярное произведение равно \(\dfrac{a^2}{2}-2a^2=-\dfrac{3a^2}{2}\), а длины обоих векторов равны \(\sqrt3a\). Поэтому косинус острого угла между прямыми равен \(\dfrac{|{-3a^2}/{2}|}{(\sqrt3a)^2}=\dfrac12\).

Ответ: 60°.