467. Существуют ли два числа, таких, что: а) их сумма равна 10, а произведение равно −24; б) их разность равна 2, а произведение равно −4?

а) Пусть числа — корни квадратного уравнения. Тогда сумма корней равна 10, а произведение — −24:

\[x^2-10x-24=0.\]

Дискриминант: \(D=(-10)^2-4\cdot1\cdot(-24)=196\).

\[x=\frac{10\pm\sqrt{196}}{2}=\frac{10\pm14}{2}.\]

Получаем числа \(12\) и \(-2\). Проверка: \(12+(-2)=10\), \(12\cdot(-2)=-24\).

б) Пусть первое число на 2 больше второго: \(x-y=2\), значит \(x=y+2\). По условию:

\[(y+2)y=-4,\]

\[y^2+2y+4=0.\]

Дискриминант: \(D=2^2-4\cdot1\cdot4=-12<0\). Действительных корней нет.

Ответ: а) да, это числа 12 и −2; б) нет, таких действительных чисел не существует.