469. Упростить выражение: 1) $(1+ g^2\alpha)\cos^2\alpha-1$; 2) $1-\sin^2\alpha(1+\ctg^2\alpha)$; 3) $1+ g^2\alpha+\dfrac{1}{\sin^2\alpha}$; 4) $\dfrac{1+ g^2\alpha}{1+\ctg^2\alpha}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 469. Упростить выражение: 1) $(1+ g^2\alpha)\cos^2\alpha-1$; 2) $1-\sin^2\alpha(1+\ctg^2\alpha)$; 3) \(1+…$ Фото задания

Accepted Answer

1)

\[ (1+ g^2\alpha)\cos^2\alpha-1=\frac{1}{\cos^2\alpha}\cos^2\alpha-1=1-1=0. \]

2)

\[ 1-\sin^2\alpha(1+\ctg^2\alpha)=1-\sin^2\alpha\cdot\frac{1}{\sin^2\alpha}=1-1=0. \]

3)

\[ 1+ g^2\alpha+\frac{1}{\sin^2\alpha}=\frac{1}{\cos^2\alpha}+\frac{1}{\sin^2\alpha}. \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{1}{\cos^2\alpha}+\frac{1}{\sin^2\alpha}=\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}=\frac{1}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}. \]

4)

\[ \frac{1+ g^2\alpha}{1+\ctg^2\alpha}=\frac{\dfrac{1}{\cos^2\alpha}}{\dfrac{1}{\sin^2\alpha}}=\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}= g^2\alpha. \]

Ответ: 1) $0$; 2) $0$; 3) $\dfrac{1}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}$; 4) $ g^2\alpha$.

469. Упростить выражение: 1) \((1+ g^2\alpha)\cos^2\alpha-1\); 2) \(1-\sin^2\alpha(1+\ctg^2\alpha)\); 3) \(1+ g^2\alpha+\dfrac{1}{\sin^2\alpha}\); 4) \(\dfrac{1+ g^2\alpha}{1+\ctg^2\alpha}\).