47 \(\sqrt[3]{\cos^{3} x}\) = \(\cos\)\(2x + \frac{\pi}{2}\)

Решение:

Данное уравнение имеет вид:

\( 47 \sqrt[3]{\cos^{3} x} = \cos(2x + \frac{\pi}{2}) \)

Упростим левую часть уравнения:

\( 47 \sqrt[3]{\cos^{3} x} = 47 \cos x \)

Упростим правую часть уравнения, используя формулу косинуса суммы:

\( \cos(2x + \frac{\pi}{2}) = \cos(2x)\cos(\frac{\pi}{2}) - \sin(2x)\sin(\frac{\pi}{2}) \)

Так как \( \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \) и \( \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \), правая часть становится:

\( \cos(2x + \frac{\pi}{2}) = \cos(2x) \cdot 0 - \sin(2x) \cdot 1 = -\sin(2x) \)

Теперь уравнение выглядит так:

\( 47 \cos x = -\sin(2x) \)

Используем формулу двойного угла для синуса \( \sin(2x) = 2 \sin x \cos x \):

\( 47 \cos x = -2 \sin x \cos x \)

Перенесём все члены в одну сторону:

\( 47 \cos x + 2 \sin x \cos x = 0 \)

Вынесем \( \cos x \) за скобки:

\( \cos x (47 + 2 \sin x) = 0 \)

Это уравнение распадается на два случая:

1. \( \cos x = 0 \)
2. \( 47 + 2 \sin x = 0 \)

Случай 1:

\( \cos x = 0 \)

Это происходит, когда \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \) — любое целое число.

Случай 2:

\( 47 + 2 \sin x = 0 \)

\( 2 \sin x = -47 \)

\( \sin x = -\frac{47}{2} \)

Так как значение синуса всегда находится в диапазоне от -1 до 1 \( ( -1 \le \sin x \le 1 ) \), то \( \sin x = -\frac{47}{2} \) не имеет решений.

Следовательно, единственными решениями являются решения из первого случая.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).