47. В пространственном четырёхугольнике ABCD стороны AB и CD равны. Докажите, что прямые AB и CD образуют равные углы с прямой, проходящей через середины отрезков BC и AD.

Обозначим через M середину BC, через N — середину AD. Пусть \(\vec u=\overrightarrow{AB}\), \(\vec v=\overrightarrow{DC}\). По условию \(|\vec u|=|\vec v|\).

Так как M и N — середины соответствующих отрезков,

\(\overrightarrow{MN}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}}{2}=\frac{\vec u+\vec v}{2}.\)

Следовательно, направление прямой MN задаётся суммой векторов \(\vec u+\vec v\). Чтобы сравнить углы этой прямой с AB и CD, используем равенство длин векторов:

\(\vec u\cdot(\vec u+\vec v)=|\vec u|^2+\vec u\cdot\vec v=|\vec v|^2+\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot(\vec u+\vec v).\)

Поскольку \(|\vec u|=|\vec v|\), векторы \(\vec u\) и \(\vec v\) образуют с \(\vec u+\vec v\) равные углы. Значит, прямые AB и CD образуют с MN равные углы.

Ответ: прямые AB и CD образуют с прямой MN равные углы.

Если M и N совпадают, прямая MN не определена; утверждение предполагает, что середины различны.