47. В треугольнике ABC ∠A = ∠B = 50°, AB = 8 см. Найдите: 1) сторону AC; 2) высоту AH; 3) медиану CM; 4) биссектрису AD; 5) радиус описанной окружности треугольника ABC; 6) радиус вписанной окружности треугольника ABC.

Так как углы при основании равны, треугольник равнобедренный: ∠C = 80°, AC = BC. По теореме синусов:

\(\dfrac{AC}{\sin 50^\circ}=\dfrac{AB}{\sin 80^\circ}\), поэтому \(AC=\dfrac{8\sin 50^\circ}{\sin 80^\circ}\approx 6.22\) см.

1) \(AC\approx 6.22\) см.

2) Высота AH — расстояние от A до BC. В прямоугольном треугольнике ABH: \(AH=AB\sin 50^\circ=8\sin 50^\circ\approx 6.13\) см.

3) Пусть M — середина AB. Медиана CM в равнобедренном треугольнике является высотой, а AM = 4 см. Тогда \(CM=\sqrt{AC^2-AM^2}=\sqrt{(8\sin 50^\circ/\sin 80^\circ)^2-16}\approx 4.76\) см.

4) По формуле длины биссектрисы из A, где \(b=AC\), \(c=AB\): \(AD=\dfrac{2bc\cos(A/2)}{b+c}\). Следовательно, \(AD=\dfrac{16AC\cos25^\circ}{AC+8}\approx 6.59\) см.

5) Радиус описанной окружности: \(R=\dfrac{AB}{2\sin C}=\dfrac{4}{\sin80^\circ}\approx 4.06\) см.

6) Площадь \(S=\dfrac12\,AB\cdot AH\), полупериметр \(p=\dfrac{AB+2AC}{2}\). Поэтому \(r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{4AH}{8+2AC}\approx 1.49\) см.

Ответ: 1) 6.22 см; 2) 6.13 см; 3) 4.76 см; 4) 6.59 см; 5) 4.06 см; 6) 1.49 см.