471. Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если: а) AB ∥ CD, ∠BAC = ∠ACD и ∠BCA = ∠DAC; б) AB ∥ CD, ∠A = ∠C и ∠BCA = ∠DAC.

а) Рассмотрим треугольники ABC и CDA.

1. ∠BAC = ∠ACD по условию.
2. ∠BCA = ∠DAC по условию.
3. Сторона AC — общая.

Следовательно, треугольники ABC и CDA равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Из равенства треугольников следует, что ∠BCA = ∠DAC. Это накрест лежащие углы при пересечении прямых BC и AD секущей AC, поэтому BC ∥ AD.

Таким образом, AB ∥ CD и BC ∥ AD. Следовательно, ABCD — параллелограмм.

б) По условию ∠BCA = ∠DAC. Это накрест лежащие углы при пересечении прямых BC и AD секущей AC, поэтому BC ∥ AD.

Также по условию AB ∥ CD.

В выпуклом четырёхугольнике обе пары противоположных сторон параллельны, значит ABCD — параллелограмм. Равенство ∠A = ∠C согласуется с полученным свойством параллелограмма.

Ответ: ABCD является параллелограммом в обоих случаях.