471. Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если: а) ∠ABC = ∠ACD и ∠BCA = ∠DAC; б) AB ∥ CD, ∠A = ∠C.

а) Рассмотрим треугольники ABC и CDA. По условию ∠ABC = ∠ACD и ∠BCA = ∠DAC, поэтому треугольники подобны по двум углам. Из подобия следует равенство соответствующих углов ∠BAC = ∠CDA. Таким образом, накрест лежащие углы при прямых AB и CD и секущей AC равны, значит, AB ∥ CD. Также ∠BCA = ∠DAC — накрест лежащие углы при прямых BC и AD и секущей AC, поэтому BC ∥ AD. Четырёхугольник, у которого обе пары противоположных сторон параллельны, — параллелограмм.

б) Так как AB ∥ CD, при секущей AC внутренние односторонние углы удовлетворяют равенству ∠A + ∠C = 180°. По условию ∠A = ∠C, следовательно, 2∠A = 180° и ∠A = ∠C = 90°. Тогда AD ⟂ AB и BC ⟂ AB, откуда AD ∥ BC (две прямые, перпендикулярные одной прямой, параллельны). Вместе с AB ∥ CD это доказывает, что ABCD — параллелограмм.