471. Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если: а) ∠BAC = ∠ACD и ∠BCA = ∠DAC; б) AB ∥ CD, ∠A = ∠C.

а) Рассмотрим треугольники \(\triangle BAC\) и \(\triangle ACD\).

1. По условию \(\angle BAC=\angle ACD\) и \(\angle BCA=\angle DAC\).
2. Сторона \(AC\) является общей для обоих треугольников.
3. Следовательно, \(\triangle BAC\cong\triangle ACD\) по стороне и двум прилежащим к ней углам.
4. Из равенства соответствующих углов получаем \(\angle BCA=\angle DAC\), значит, \(BC\parallel AD\) (накрест лежащие углы при секущей \(AC\)).
5. Аналогично из равенства \(\angle BAC=\angle ACD\) получаем \(AB\parallel CD\).

Выпуклый четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом.

б) По условию \(AB\parallel CD\). Прямая \(AC\) является секущей, поэтому \(\angle BAC+\angle ACD=180^\circ\). Так как \(\angle A=\angle C\), то \(\angle DAB=\angle BCD\). Следовательно, внутренние односторонние углы при секущей \(AD\) равны: \(\angle DAB+\angle ADC=180^\circ\), поэтому \(AD\parallel BC\). Значит, обе пары противоположных сторон четырёхугольника параллельны, следовательно, \(ABCD\) — параллелограмм.

Ответ: а), б) — \(ABCD\) является параллелограммом.