472. Решите неравенства: а) $2^{x^2}>(\frac12)^{2x-3}$; б) $(\frac1{25})^{2x}< (\sqrt5)^{x^2+3,75}$; в) $3^{4x+3}\le(\frac19)^{\frac{x^2}{2}}$; г) $(\frac14)^{10x}>64^{2\frac23-x^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 472. Решите неравенства: а) $2^{x^2}>(\frac12)^{2x-3}$; б) $(\frac1{25})^{2x}< (\sqrt5)^{x^2+3,75}$; в)…$ Фото задания

472. Решите неравенства: а) $2^{x^2}>(\frac12)^{2x-3}$; б) $(\frac1{25})^{2x}< (\sqrt5)^{x^2+3,75}$; в) $3^{4x+3}\le(\frac19)^{\frac{x^2}{2}}$; г) $(\frac14)^{10x}>64^{2\frac23-x^2}$.

Accepted Answer

а) Представим правую часть как степень двойки: $(\frac12)^{2x-3}=2^{-2x+3}$. Поскольку основание $2>1$, сравниваем показатели:

$x^2>-2x+3$, значит $x^2+2x-3>0$, или $(x+3)(x-1)>0$.

Ответ: $x\in(-\infty;-3)\cup(1;+\infty)$.

б) Перепишем обе части как степени числа $5$: $(\frac1{25})^{2x}=5^{-4x}$, а $(\sqrt5)^{x^2+3,75}=5^{\frac{x^2+3,75}{2}}$. Так как $5>1$,

$-4x<\frac{x^2+3,75}{2}$, откуда $4x^2+32x+15>0$. Корни квадратного трёхчлена: $x=-\frac{15}{2}$ и $x=-\frac12$. Парабола направлена вверх, поэтому неравенство выполняется вне промежутка между корнями.

Ответ: $x\in(-\infty;-\frac{15}{2})\cup(-\frac12;+\infty)$.

в) Запишем правую часть как степень числа $3$: $(\frac19)^{\frac{x^2}{2}}=3^{-x^2}$. Поскольку $3>1$,

$4x+3\le -x^2$, то есть $x^2+4x+3\le0$. Разложим: $(x+3)(x+1)\le0$.

Ответ: $x\in[-3;-1]$.

г) Преобразуем обе части к основанию $2$: $(\frac14)^{10x}=2^{-20x}$, а $64^{2\frac23-x^2}=2^{16-6x^2}$. Так как $2>1$,

$-20x>16-6x^2$, откуда $3x^2-10x-8>0$. Корни: $x=-\frac23$ и $x=4$. Парабола направлена вверх, поэтому берём промежутки вне корней.

Ответ: $x\in(-\infty;-\frac23)\cup(4;+\infty)$.

472. Решите неравенства: а) \(2^{x^2}>(\frac12)^{2x-3}\); б) \((\frac1{25})^{2x}< (\sqrt5)^{x^2+3,75}\); в) \(3^{4x+3}\le(\frac19)^{\frac{x^2}{2}}\); г) \((\frac14)^{10x}>64^{2\frac23-x^2}\).

Ответ: