472. Решите неравенства: а) \(2^{x^2}>(\frac12)^{\frac{2x-3}{2}}\); б) \((\frac1{25})^{2x}< (\sqrt5)^{x^2+3,75}\); в) \(3^{4x+3}\le (\frac19)^{\frac{x^2}{2}}\); г) \((\frac14)^{10x}>64^{\frac23-x^2}\).

а) Представим обе части как степени числа 2: \(2^{x^2}>2^{-x+\frac32}\). Так как основание больше 1, сравниваем показатели:

\(x^2>-x+\frac32\), то есть \(x^2+x-\frac32>0\).

Корни соответствующего квадратного трёхчлена: \(x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt7}{2}\). Трёхчлен положителен вне промежутка между корнями.

Ответ: \(x\in(-\infty;\frac{-1-\sqrt7}{2})\cup(\frac{-1+\sqrt7}{2};+\infty)\).

б) Запишем обе части как степени числа 5: \(5^{-4x}<5^{\frac{x^2+\frac{15}{4}}{2}}\). Основание больше 1, поэтому:

\(-4x<\frac{x^2}{2}+\frac{15}{8}\), откуда \(x^2+8x+\frac{15}{4}>0\), или \(x^2+32x+15>0\) после умножения на 4.

Корни: \(x_{1,2}=-16\pm\sqrt{241}\). Поскольку коэффициент при \(x^2\) положителен, неравенство выполняется вне промежутка между корнями.

Ответ: \(x\in(-\infty;-16-\sqrt{241})\cup(-16+\sqrt{241};+\infty)\).

в) Представим обе части как степени числа 3: \(3^{4x+3}\le 3^{-x^2}\). Тогда \(4x+3\le -x^2\), то есть \(x^2+4x+3\le0\).

Разложим на множители: \((x+3)(x+1)\le0\). Произведение неположительно между корнями, включая их.

Ответ: \(x\in[-3;-1]\).

г) Представим обе части как степени числа 2: \(2^{-20x}>2^{4-6x^2}\). Так как основание больше 1, \(-20x>4-6x^2\), откуда \(3x^2-10x-2>0\).

Корни: \(x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{31}}{3}\). Трёхчлен положителен вне промежутка между корнями.

Ответ: \(x\in(-\infty;\frac{5-\sqrt{31}}{3})\cup(\frac{5+\sqrt{31}}{3};+\infty)\).