Ответ:

  1. Мать сильно беспокоилась за сына. Сочетание «беспокоиться за кого-либо» нормативно; исправление не требуется.
  2. Решимость прогрессивных сил во всех частях света не допустить новой войны вселяет в нас уверенность в победе дела мира. При отрицании у глагола «допустить» употребляется родительный падеж; сочетание «уверенность в» требует предложного падежа.
  3. К концу года вы должны будете отчитаться о проделанной работе. Сочетание «отчитаться о чём-либо» употреблено правильно.
  4. Мы наблюдали за солнечным затмением. Глагол «наблюдать» в этом значении употребляется с предлогом «за» и творительным падежом.
  5. Мальчик бросил камень в воду. Предмет, который бросают, ставится в винительный падеж.
  6. Чем я обязан такому лестному отзыву о моей работе? Предложение построено правильно: «обязан чем?» — «отзыву».
  7. Необходимо своевременно обеспечить школы достаточным количеством топлива на зиму. В этом значении используется конструкция «обеспечить кого-либо чем-либо».
  8. Успокойтесь, выпейте воды. Родительный падеж обозначает некоторое количество воды. Винительный падеж «выпейте воду» возможен, если имеется в виду конкретная порция целиком.
  9. В итальянском фильме показывается, как молодёжь ищет работу. Глагол «искать» требует винительного падежа.
  10. В целях дальнейшего улучшения качества воспитания подрастающего поколения культурно-просветительные учреждения усилили свою работу. Сочетание «усилить работу» употреблено правильно.
  11. Проверка работы группы, проведённая деканатом, установила ряд недостатков. Такая формулировка ясно показывает, что проверяли работу группы, а проверку проводил деканат.
  12. Кафедра организовала производственную практику студентов и руководит ею. Глагол «организовать» требует винительного падежа, а «руководить» — творительного.