477. Найдите и докажите: 1) В каждом из следующих случаев определите, каким числом — чётным или нечётным — является результат: а) сумма двух нечётных чисел; б) сумма нечётного и чётного чисел; в) произведение чётного и нечётного чисел. 2) Сформулируйте и запишите соответствующие утверждения и докажите их, опираясь на свойства делимости.

Пусть чётное число имеет вид 2m, а нечётное — 2m + 1, где m — целое число.

1. Сумма двух нечётных чисел чётная. Пусть числа равны 2m + 1 и 2n + 1. Тогда их сумма:

   (2m + 1) + (2n + 1) = 2(m + n + 1).

   Сумма делится на 2, поэтому она чётная.

2. Сумма нечётного и чётного чисел нечётная. Пусть числа равны 2m + 1 и 2n. Тогда их сумма:

   (2m + 1) + 2n = 2(m + n) + 1.

   При делении на 2 сумма даёт остаток 1, поэтому она нечётная.

3. Произведение чётного и нечётного чисел чётное. Пусть числа равны 2m и 2n + 1. Тогда их произведение:

   2m(2n + 1) = 2[m(2n + 1)].

   Произведение делится на 2, поэтому оно чётное.

Утверждения: сумма двух нечётных чисел делится на 2; сумма нечётного и чётного чисел при делении на 2 даёт остаток 1; произведение чётного и нечётного чисел делится на 2. Следовательно, результаты в пунктах а), б), в) соответственно чётное, нечётное и чётное числа.