477. В параллелограмме MNPQ проведён перпендикуляр NH к прямой MQ, причём точка H лежит на стороне MQ. Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что MH = 3 см, HQ = 5 см, ∠MNH = 30°.

Так как точка H лежит на стороне MQ, то
\(MQ = MH + HQ = 3 + 5 = 8\) см.

Треугольник \(MNH\) прямоугольный, так как \(NH \perp MQ\). В нём \(\angle MNH = 30^\circ\), а сторона \(MH = 3\) см является противолежащей этому углу.

По определению синуса:

\[\sin 30^\circ = \frac{MH}{MN}.\]

Следовательно,

\[MN = \frac{MH}{\sin 30^\circ} = \frac{3}{1/2} = 6\text{ см}.\]

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому \(NP = MQ = 8\) см, а \(PQ = MN = 6\) см.

В прямоугольном треугольнике \(MNH\):

\[\angle NMH = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ.\]

Луч \(MH\) лежит на стороне \(MQ\), поэтому \(\angle NMQ = 60^\circ\). Противоположные углы параллелограмма равны, а соседние в сумме дают \(180^\circ\):

\[\angle M = \angle P = 60^\circ,\qquad \angle N = \angle Q = 120^\circ.\]

Ответ: \(MN = PQ = 6\) см, \(MQ = NP = 8\) см; \(\angle M = \angle P = 60^\circ\), \(\angle N = \angle Q = 120^\circ\).