48. Докажите, что ромб, диагонали которого равны, является квадратом.

Пусть диагонали ромба равны: обозначим их длины через d₁ и d₂, где d₁ = d₂.

1. Диагонали ромба пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
2. Рассмотрим треугольник, образованный двумя половинами диагоналей и стороной ромба. Его катеты равны d₁/2 и d₂/2, а гипотенуза — сторона ромба.
3. Так как d₁ = d₂, этот прямоугольный треугольник равнобедренный. Поэтому его острые углы равны по 45°.
4. Диагональ ромба делит его угол пополам, значит угол ромба равен 45° + 45° = 90°.

Ромб с прямым углом является квадратом.

Ответ: ромб с равными диагоналями — квадрат.