48. Площадь прямоугольного треугольника равна \(128\sqrt{3}\). Один из острых углов равен \(30^\circ\). Найдите длину гипотенузы.

В прямоугольном треугольнике с углом \(30^\circ\) катет, лежащий напротив этого угла, равен половине гипотенузы. Обозначим этот катет за \(x\). Тогда гипотенуза равна \(2x\), а второй катет — \(x\sqrt{3}\).

По формуле площади:

\[\frac{x\cdot x\sqrt{3}}{2}=128\sqrt{3}.\]

Сократим на \(\sqrt{3}\) и найдём \(x\):

\[\frac{x^2}{2}=128,\qquad x^2=256,\qquad x=16.\]

Тогда гипотенуза равна \(2x=2\cdot16=32\).

Ответ: 32.