48. Расстояние между пристанями А и В равно 72 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через четыре часа вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошёл 38 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде (в км/ч), если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Решение:

1. Обозначим скорость лодки в неподвижной воде за \( v_л \) км/ч. Скорость течения реки \( v_т = 2 \) км/ч.
2. Скорость плота равна скорости течения реки, то есть \( v_п = v_т = 2 \) км/ч.
3. За \( t \) часов плот прошёл 38 км. Значит, \( 2t = 38 \), откуда \( t = 19 \) часов.
4. Моторная лодка отправилась через 4 часа после плота, значит, время движения лодки составило \( 19 - 4 = 15 \) часов.
5. Скорость лодки по течению: \( v_л + v_т = v_л + 2 \) км/ч.
6. Скорость лодки против течения: \( v_л - v_т = v_л - 2 \) км/ч.
7. Расстояние от А до В равно 72 км.
8. Время движения лодки по течению: \( t_1 = \frac{72}{v_л + 2} \) часов.
9. Время движения лодки против течения: \( t_2 = \frac{72}{v_л - 2} \) часов.
10. Общее время движения лодки: \( t_1 + t_2 = 15 \) часов.
11. Составим уравнение: \[ \frac{72}{v_л + 2} + \frac{72}{v_л - 2} = 15 \]
12. Умножим обе части уравнения на \( (v_л + 2)(v_л - 2) = v_л^2 - 4 \):
13. \( 72(v_л - 2) + 72(v_л + 2) = 15(v_л^2 - 4) \)
14. \( 72v_л - 144 + 72v_л + 144 = 15v_л^2 - 60 \)
15. \( 144v_л = 15v_л^2 - 60 \)
16. \( 15v_л^2 - 144v_л - 60 = 0 \)
17. Разделим на 3: \( 5v_л^2 - 48v_л - 20 = 0 \)
18. Найдём дискриминант: \( D = (-48)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-20) = 2304 + 400 = 2704 \).
19. \( \sqrt{D} = \sqrt{2704} = 52 \).
20. Найдём скорость лодки: \( v_л = \frac{48 \pm 52}{2 \cdot 5} \)
21. \( v_л = \frac{48 + 52}{10} = \frac{100}{10} = 10 \) км/ч.
22. \( v_л = \frac{48 - 52}{10} = \frac{-4}{10} = -0.4 \) км/ч (этот корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательной).

Ответ: 10 км/ч.