48. В трапеции ABCD AB = CD = 8 см, ∠CBD = 58°, ∠ABD = 46°. Найдите: 1) основания и диагональ трапеции; 2) радиус окружности, описанной около треугольника ABD.

Считаем, что равные стороны AB и CD — боковые стороны равнобедренной трапеции, а основания — AD и BC (то есть AD ∥ BC).

В треугольнике ABD: ∠BDA = ∠CBD = 58° как накрест лежащие углы при параллельных AD и BC. Тогда ∠BAD = 180° − 46° − 58° = 76°.

По теореме синусов в треугольнике ABD:

\(BD=\dfrac{8\sin76^\circ}{\sin58^\circ}\approx 9.41\) см, \(AD=\dfrac{8\sin46^\circ}{\sin58^\circ}\approx 6.63\) см.

В треугольнике BCD углы при B и D равны 58° и 18° соответственно: угол B равен 58°, а угол D составляет \(76^\circ-58^\circ=18^\circ\). По теореме синусов:

\(BC=\dfrac{8\sin18^\circ}{\sin58^\circ}\approx 2.83\) см.

Радиус описанной окружности треугольника ABD:

\(R=\dfrac{AB}{2\sin\angle BDA}=\dfrac{8}{2\sin58^\circ}\approx 4.72\) см.

Ответ: 1) основания AD ≈ 6.63 см и BC ≈ 2.83 см, диагональ BD ≈ 9.41 см; 2) R ≈ 4.72 см.