482. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что четырёхугольник A₁B₁C₁D₁, вершинами которого являются середины отрезков OA, OB, OC и OD, — параллелограмм.

Так как точки \(A_1,B_1,C_1,D_1\) — середины отрезков \(OA,OB,OC,OD\), то в треугольнике \(OAC\) отрезок \(A_1C_1\) соединяет середины двух сторон, поэтому \(A_1C_1\parallel AC\) и \(A_1C_1=\frac12 AC\).

В треугольнике \(OBD\) отрезок \(B_1D_1\) также соединяет середины двух сторон, поэтому \(B_1D_1\parallel BD\) и \(B_1D_1=\frac12 BD\).

В параллелограмме диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются и делятся пополам, но для доказательства параллелограммности достаточно рассмотреть стороны. В треугольнике \(OAB\): \(A_1B_1\parallel AB\). В треугольнике \(OCD\): \(C_1D_1\parallel CD\). Так как \(AB\parallel CD\), то \(A_1B_1\parallel C_1D_1\).

Аналогично, в треугольниках \(OBC\) и \(ODA\) получаем \(B_1C_1\parallel BC\) и \(D_1A_1\parallel DA\). Так как \(BC\parallel AD\), то \(B_1C_1\parallel D_1A_1\).

Следовательно, у четырёхугольника \(A_1B_1C_1D_1\) обе пары противоположных сторон параллельны, значит, это параллелограмм.

Ответ: \(A_1B_1C_1D_1\) — параллелограмм.