483. На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены точки P и Q так, что PB = QD. Докажите, что четырёхугольник APCQ — параллелограмм.

Рассмотрим диагональ \(BD\). Так как точки \(P\) и \(Q\) лежат на ней и \(PB=QD\), то точки \(P\) и \(Q\) расположены симметрично относительно середины диагонали \(BD\).

В параллелограмме диагонали пересекаются и делятся пополам. Обозначим их точку пересечения через \(O\). Тогда \(OB=OD\). Из условия \(PB=QD\) следует, что \(OP=OQ\): равные отрезки, отложенные на одной диагонали от её концов, оставляют равные расстояния до её середины.

Следовательно, точка \(O\) является серединой отрезка \(PQ\). По свойству диагоналей четырёхугольника, если его диагонали пересекаются и делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Диагоналями четырёхугольника \(APCQ\) являются \(AC\) и \(PQ\). Точка \(O\) — середина \(AC\), поскольку диагонали параллелограмма \(ABCD\) делятся пополам, и одновременно середина \(PQ\). Значит, диагонали \(APCQ\) делятся точкой пересечения пополам.

Ответ: \(APCQ\) — параллелограмм.