485. Через точку C проведена прямая, параллельная AB, и пересекающая прямую MN в точке D. Докажите, что MN — средняя линия треугольника ABC.

Так как AB\(\parallel\) CD, а BC\(\parallel\) MD, четырёхугольник BCDM является параллелограммом.

По условию M — середина стороны AB, поэтому AM=MB. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, MB=CD. Значит, AM=CD.

Рассмотрим треугольники AMN и CDN. Имеем:

• AM=CD;
• ∠MAN=∠DCN как углы при параллельных прямых AB и CD;
• ∠MNA=∠DNC как вертикальные углы.

Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому AN=NC, то есть N — середина стороны AC.

Таким образом, MN соединяет середины сторон AB и AC треугольника ABC.

Ответ: MN — средняя линия треугольника ABC.