486. Отрезки МР и МК — соответственно хорда и диаметр окружности с центром О, \angle POK = 84° (рис. 284). Найдите \angle MPO.

Решение:

1. MK — диаметр.
2. \[ \angle POK = 84° \] — центральный угол.
3. \[ \angle MPK \] — вписанный угол, опирающийся на дугу PK. Центральный угол \[ \angle POK = 84° \], значит, дуга PK равна 84°.
4. Следовательно, вписанный угол \[ \angle MPK = \frac{1}{2} \angle POK = \frac{1}{2} 84° = 42° \].
5. MK — диаметр, поэтому \[ \angle MPK = 90° \] (угол, опирающийся на диаметр).
6. В \( \triangle MPO \):
• MO = PO (радиусы окружности), следовательно, \( \triangle MPO \) — равнобедренный.
• \[ \angle MPO = \angle PMO \].
7. В \( \triangle MPO \) сумма углов равна 180°. Мы знаем \[ \angle MPO \].
8. Важное уточнение: Отрезок МК — диаметр, а МР — хорда. Угол \( \angle POK = 84° \) является центральным углом.
9. Находим \[ \angle MPO \]:
• Так как MK — диаметр, то \( \triangle MPK \) — прямоугольный, \( \angle MPK = 90° \).
• Мы знаем, что \( \angle POK = 84° \).
• В \( \triangle POK \): PO = OK (радиусы), значит, \( \triangle POK \) — равнобедренный.
• \[ \angle OPO = \angle OKP = \frac{180° - 84°}{2} = \frac{96°}{2} = 48° \].
• Нам нужно найти \( \angle MPO \).
• В \( \triangle MPO \): MO = PO (радиусы), значит, \( \triangle MPO \) — равнобедренный.
• \[ \angle MPO = \angle PMO \].
• Угол \( \angle KPO = 48° \) (из \( \triangle POK \)).
• Угол \( \angle MPK = 90° \) (т.к. опирается на диаметр MK).
• \[ \angle MPO = \angle MPK - \angle KPO = 90° - 48° = 42° \].

Ответ: 42°