488. Вычислить $\cos(\alpha+\beta)$ и $\cos(\alpha-\beta)$, если $\sin\alpha=-\frac{3}{5}$, $\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$, и $\sin\beta=\frac{8}{17}$, $0<\beta<\frac{\pi}{2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 488. Вычислить $\cos(\alpha+\beta)$ и $\cos(\alpha-\beta)$, если $\sin\alpha=-\frac{3}{5}$,…$ Фото задания

Accepted Answer

Так как $\alpha$ находится в IV четверти, $\cos\alpha>0$. Поэтому $\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$.

Так как $\beta$ находится в I четверти, $\cos\beta>0$. Поэтому $\cos\beta=\sqrt{1-\sin^2\beta}=\sqrt{1-\frac{64}{289}}=\frac{15}{17}$.

Используем формулы косинуса суммы и разности:

$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\frac{4}{5}\cdot\frac{15}{17}-\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot\frac{8}{17}=\frac{84}{85}.$

$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\frac{4}{5}\cdot\frac{15}{17}+\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot\frac{8}{17}=\frac{36}{85}.$

Ответ: $\cos(\alpha+\beta)=\frac{84}{85}$, $\cos(\alpha-\beta)=\frac{36}{85}$.

488. Вычислить \(\cos(\alpha+\beta)\) и \(\cos(\alpha-\beta)\), если \(\sin\alpha=-\frac{3}{5}\), \(\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi\), и \(\sin\beta=\frac{8}{17}\), \(0<\beta<\frac{\pi}{2}\).