489. Докажите, что средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.

Пусть в трапеции основания — стороны AD и BC, а M и N — середины боковых сторон AB и CD.

Проведём диагональ AC и обозначим через P середину диагонали.

1. В треугольнике ABC точки M и P — середины сторон AB и AC. По теореме о средней линии треугольника MP ∥ BC и MP = BC/2.
2. В треугольнике ACD точки P и N — середины сторон AC и CD. Поэтому PN ∥ AD и PN = AD/2.
3. Так как AD ∥ BC, отрезки MP и PN лежат на одной прямой. Следовательно, M, P, N коллинеарны, а MN ∥ AD ∥ BC.
4. MN = MP + PN = BC/2 + AD/2 = (AD + BC)/2.

Ответ: средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.