49*(48). Автомобиль проехал первую половину пути со скоростью \(v_1=10\) м/с, а вторую половину пути — со скоростью \(v_2=15\) м/с. Найти среднюю скорость на всём пути. Доказать, что средняя скорость меньше среднего арифметического значений \(v_1\) и \(v_2\).

Пусть весь путь равен \(S\). Тогда каждая половина пути равна \(\frac{S}{2}\).

Время движения на первой половине:

\[t_1=\frac{S/2}{v_1}=\frac{S}{2v_1}.\]

Время движения на второй половине:

\[t_2=\frac{S/2}{v_2}=\frac{S}{2v_2}.\]

Средняя скорость:

\[v_{\text{ср}}=\frac{S}{t_1+t_2}=\frac{S}{\frac{S}{2v_1}+\frac{S}{2v_2}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}.\]

Подставим значения:

\[v_{\text{ср}}=\frac{2\cdot10\cdot15}{10+15}=\frac{300}{25}=12\ м/с.\]

Среднее арифметическое скоростей:

\[\frac{v_1+v_2}{2}=\frac{10+15}{2}=12.5\ м/с.\]

Сравнение показывает: \(12\ м/с<12.5\ м/с\).

В общем виде при \(v_1\ne v_2\):

\[\frac{v_1+v_2}{2}-\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}=\frac{(v_1-v_2)^2}{2(v_1+v_2)}>0.\]

Следовательно, средняя скорость при прохождении равных расстояний меньше среднего арифметического скоростей.

Ответ: \(v_{\text{ср}}=12\ м/с\); \(12\ м/с<12.5\ м/с\).