491. Докажите, что значения выражений \(\sqrt{7+4\sqrt3}+\sqrt{7-4\sqrt3}\) и \(\sqrt{7+4\sqrt3}\cdot\sqrt{7-4\sqrt3}\) равны.

Выражения прочитаны по видимой части изображения; надкоренные выражения во втором слагаемом и множителе — \(7-4\sqrt3\).

Используем тождество \((2+\sqrt3)^2=7+4\sqrt3\) и равенство \((2-\sqrt3)^2=7-4\sqrt3\). Поскольку \(2-\sqrt3>0\), получаем:

\(\sqrt{7+4\sqrt3}=2+\sqrt3\), а \(\sqrt{7-4\sqrt3}=2-\sqrt3\).

Значение суммы: \((2+\sqrt3)+(2-\sqrt3)=4\).

Значение произведения: \((2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=4-3=1\).

Полученные значения различны, поэтому утверждение о равенстве неверно для видимой записи: сумма равна 4, произведение — 1.

Ответ: выражения не равны; их значения — 4 и 1.