491. По данным катетам a и b прямоугольного треугольника найдите высоту, проведённую к гипотенузе: a) a = 5, b = 12; б) a = 12, b = 16.

Для решения этой задачи нам понадобится знание формул для площади прямоугольного треугольника. Площадь можно вычислить двумя способами:
1) Как половину произведения катетов: \(S = \frac{1}{2}ab\)
2) Как половину произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней: \(S = \frac{1}{2}ch\), где (c) - гипотенуза, а (h) - высота к ней.

Сначала найдем гипотенузу (c) по теореме Пифагора: \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\).

**a) a = 5, b = 12**

1. Найдем гипотенузу: \(c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\)
2. Найдем площадь треугольника: \(S = \frac{1}{2} * 5 * 12 = 30\)
3. Теперь выразим высоту (h) из формулы \(S = \frac{1}{2}ch\): \(h = \frac{2S}{c}\)
4. Подставим значения: \(h = \frac{2 * 30}{13} = \frac{60}{13} \approx 4.62\)

**б) a = 12, b = 16**

1. Найдем гипотенузу: \(c = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20\)
2. Найдем площадь треугольника: \(S = \frac{1}{2} * 12 * 16 = 96\)
3. Теперь выразим высоту (h) из формулы \(S = \frac{1}{2}ch\): \(h = \frac{2S}{c}\)
4. Подставим значения: \(h = \frac{2 * 96}{20} = \frac{192}{20} = 9.6\)

**Ответ:**
а) Высота, проведенная к гипотенузе, примерно равна 4.62 см.
б) Высота, проведенная к гипотенузе, равна 9.6 см.